阿里数学初赛第三题里的稠密子集，数学抽象的背后是朴素 | 二湘空间

中专学生姜萍进入阿里数学竞赛前列，她一下成了热门话题。姜萍之所以引人关注，是因为数学很难，特别是对于一个中专学生。一般认为数学之难在于两方面，一是概念抽象，二是解题需要很高的技巧。当进入数学的深入阶段这两方面尤其明显。突破数学解题技巧方法简单，就是多做题、多积累。而如何面对数学的抽象呢？

数学有抽象的一面，也有朴素的一面——容易理解的一面，抽象的后面往往是朴素。理解抽象的数学概念要从它朴素的一面着手。我们来看看姜萍做过的阿里考题。

阿里数学竞赛初赛考题一共7道。问题1是推理题，无关太多数学。问题2、4、6、7涉及到高等数学、线性代数和概率论，没有很抽象的概念，但是比较有难度。问题3、5涉及的内容比较深入，特别是问题3直接出现了抽象晦涩的概念——稠密子集。下面就从稠密子集这个概念谈谈数学的抽象与朴素。

首先说明，下面虽然谈的是比较抽象的数学概念，但只需要初中数学知识就能理解，目的是揭示抽象背后的朴素之处。

题目中第一句“…子集Г为T-稠密的…”定义了稠密子集的概念，看起来非常抽象。

数学概念虽然用公式定义，但总是用文字表达的。我们可以从文字窥探抽象概念背后的朴素。

我们先从稠密这个词说起。何为稠密？小学生都能回答：很密、很挤。例如“某个地区人口稠密”。

大家知道，最稠密最挤的莫过于物质里的原子。

现在我们有了关于稠密的朴素认识。当然这种认识离数学上的稠密还有距离，但非常有助于我们理解数学上的稠密了。

我们再想想，原子挤得最紧，但可不可以更紧些？物理学告诉我们可以，只要给物质加高压。

原子是有大小的，加高压挤紧是有极限的，到一定程度就不能更紧了。

如果是数学上没有大小的点呢，点之间挤紧是什么样子？我们初中时学过数轴，知道数轴上都是实数点，而且知道点是没有大小的。可能我们没有想过这些实数点在数轴上是怎么排列的，现在告诉大家，它们是紧紧挤在一起的，而且挤得要多紧有多紧！

任何一条直线上或一个平面都是由点组成，它们都是挤得要多紧有多紧。

“挤得要多紧有多紧”属于朴素认识，它必需用数学式子表示出来才算严谨。

本文目的是使读者在阅读娱乐中了解一点数学，不打算写出数学式子影响读者的阅读兴趣，所以下面只是用直白的文字叙述一下。

“挤得要多紧有多紧”的严谨表达：一个点不管多小的距离之内都有其他点。

想一想，是不是要多紧有多紧？

打个比方，“他们感情要多深有多深”的严谨表达可以是：不管发生什么，他们都在一起。

数学证明一下数轴上点挤得要多紧有多紧非常容易，大家也可以凭直觉想象一下。

现在我们开始感受到数学上的稠密了。

很多年以前，我们坐在一间很大的阶梯教室听数学课。老师姓秦，三四十岁，端庄秀丽。她圆润的声音穿过漫长的岁月，至今仍在耳边回响：“无穷小△x要多小有多小……”

“要多小有多小”，朴素形象的表达使我们感受到了无穷小的魅力，为我们打开了微积分的大门。

图源网络

随着岁月的流逝和知识的积累，笔者意识到“要多小有多小”的含义比我们想象的要深刻得多，这一点我将在本文的后面再谈。上面“要多紧有多紧”借用了老师的表达，以此向老师致敬。

回到问题3，其稠密子集概念涉及到欧式平面R2的子集，先解释一下。

欧式平面R2听起来高大上，说白了就是中学已经熟悉的xy 平面，它是从xy 平面抽象出来的概念，其来历就是朴素的xy 平面。大家知道，平面是两千多年前古希腊人欧几里得从生活中的朴素概念“桌面”、“地面”等抽象出来的，到四百年前有个叫笛卡尔的法国人给平面加了个xy 坐标。

刚才讲过，平面由点组成，也就是说平面是点的集合。那么子集就是xy 平面上的一部分点。例如在平面上画一个圆，这个圆上的点就是平面的一个子集。

平面上的某一类点也是平面的子集。这显然嘛，它们是平面的一部分。

初中知识告诉我们，数轴上有两类点：有理数点和无理数点。相应地，平面上也有这样的几类点：xy 坐标都是有理数的点、xy 坐标都是无理数的点。它们都是平面的子集。有趣的是，这几类子集不像圆可以画出来，不过可以想象一下。

好，现在我们可以直接面对稠密子集这个概念了。

前面说过，平面上的点挤得要多紧有多紧——平面很稠密，这一点很自然，意思不大。但是如果平面的一个子集能把平面挤得要多紧有多紧那就有意思了。

圆这样的平面子集只会把自己挤得要多紧有多紧，不会把整个平面挤成这样子。

什么样的子集才能把整个平面挤成那个样子呢？刚才提到的那几类点就可以：xy坐标都是有理数的点和xy坐标都是无理数的点。这可以用刚才“挤得要多紧有多紧”的严谨表达证明。

（其实在数轴上有理数就挤得要多紧有多紧，无理数也挤得要多紧有多紧。）

问题来了，两类点分别把平面挤得要多紧有多紧，它们到底是怎么挤的？

这好比有人说“一个城市到处都是木板房，到处都是砖房”。

乖乖，这个城市到底到处都是啥？

这开始违反我们人类的直觉了。

超越人类直觉是工科数学与理科数学的分水岭，工科数学都是可以用直觉想象理解的。

稠密子集就是为上面几类点量身定做的概念，其目的是揭示平面的本质：平面上有这几类怪异的点，那平面究竟是什么？

稠密子集的完整叙述是：平面上任意一点的不管多小距离内，都有属于那个子集的点。

平面上的任意一点是实数点。现在明白了，稠密子集在整个平面上不仅把自己挤得要多紧有多紧，而且把别人（其他点）挤得要多紧有多紧。

至此，我们对稠密子集做了朴素——容易理解的解释。稠密子集概念在深入的数学例如《泛函分析》、《点集拓扑学》中出现。可见稠密子集这样的数学概念虽然深奥、抽象，但依然可以朴素表达，使其比较容易理解。

图源网络

细心的人会发现我们讲的和问题3的稠密子集概念不太一样。

我们刚才说，稠密是“挤得要多紧有多紧”，问题3放松了这一点，要求在T范围内存在属于子集的点就是稠密——T稠密。这就把稠密概念的外延范围扩大了，更加符合我们所观察的现实世界（非数学世界）了，应用起来也更加方便。

举个例子，目前滴滴等共享车很流行，路面跑的比较多。共享车公司可以应用“稠密共享车”概念（共享车是车的子集）描述共享车的分布状态，它显然是一种T稠密：路上离一个车T距离内有一辆共享车。这个概念在制定共享车发展规划中可以很有用。

抽象的数学概念进入我们的生活就会更加有生命力。

这方面的例子很多，例如和稠密子集同样晦涩抽象的另一个数学概念“流形”，它现在在人工智能AI发现了应用，进出了数学象牙塔，为普通计算机研发人员所熟悉。

读者以后可以大胆使用T稠密这个概念，也许会给自己的工作带来方便。这可是算是阿里数学竞赛推广了数学的应用吧。

问题3的其他部分只要具有线性代数知识的都能理解（它实际上就是一道线性代数题，只是引入了抽象概念考察考生的数学能力），就不赘述了。本文的目的不是完全解释问题3，而只是通过问题3尝试探寻一下数学抽象后面朴素的一面。

下面引申一下。

上面说了，xy坐标都为有理数的点（下面简称有理数点）能把平面挤得要多紧有多紧，那么，xy坐标都为有理数的点一定多的不得了。不管它再多，没有实数点多吧，因为它是实数点的一部分。可是，怎么证明这一点呢？

一般人不会琢磨有理数点比实数点少的证明这种怪异问题，可有人会，一百多年前有个叫康托的德国人就苦思冥想这个问题。

康托  图源网络

不过康托刚开始思考的问题略有不同，他天天对着自然数、偶数发呆：他要比较自然数和偶数谁多谁少！（故事细节笔者杜撰，但符合历史原貌。）

直觉告诉我们，偶数是自然数的一部分，当然偶数比自然数少。可是这个直觉无法用数学证明。

康托苦想很久没有答案，但上帝偏爱不放弃的人。有天他突然灵光一现，“比较谁多谁少”，那“比较”到底是什么意思？

康托猛然察觉到，“比较”比“数数”（第一个是动词，意思counting）出现得更早。原始人类显然是先学会比较，然后再学会数数。比较更加根本，是产生数的来源。数是事物的抽象特征，数数是更高级的智力活动。

原始人怎么比较呢？显然是一对一摆放，什么多什么少结果马上就出来了。例如打猎分肉，原始人不会说：“总共10堆肉，我们11人，不够分，对不起，新来的没有……”原始人会把肉放在每个人面前……

对啊，一对一摆放！

康托茅塞顿开，他马上把偶数和自然数一对一摆放，发现每个自然数都可分到一个偶数，每个偶数都可分到一个自然数，原来他们一样多啊！

一对一摆放数学上叫一一对应。朴素不朴素？康托在原始人那里发现了数学的深刻道理！

康托一发不可收拾，他还发现有理数和自然数一样多，他又经过苦思冥想证明了有理数确实比实数少。

现在知道了，平面上有理数点比实数点少（这一点还需要一点说明，但不重要，故略去），但是，它们和xy坐标为自然数的点一样多。坐标为自然数的点在平面上可是稀稀拉拉，可它们竟然和把平面挤得要多紧有多紧的有理数点一样多，太神奇，太违反直觉了，可这些结论来自严格的数学证明。

你如果不知道康托这个人，没关系。数学历史上有个非常著名的希尔伯特数学问题，其中第一个问题就是康托提出来的。现在世界上有个国际数学家大会，那就是康托创办的。

这么伟大的数学家的第一个灵感来自于原始人类！

所以说，数学的来源和本质往往非常朴素。学习数学，应该多多思考，洞察其朴素的本质，就会有更深刻地把握。

读者还记得笔者另一篇关于人工智能的文章提到数学家、计算机科学家图灵吗？图灵的图灵机的思想来源也非常朴素，就是人类最初的演算过程。

图灵和图灵机  图源网络

康托和图灵虽然成就巨大，但他们的命运都很悲惨。图灵的故事大家都知道。作为题外话，下面稍微讲讲康托的命运故事。

从古希腊开始，人类和无穷纠缠了两千多年（古希腊数学家知道自然数、素数有无穷多），对于无穷，人们无法回避，但又不会处理。

牛顿发明的微积分中有个无穷小△x，它一会为0，一会又不为0，令人困惑。法国数学家柯西最终用“要多小有多小”将无穷转化为一个可以把握的“有穷”问题（就是现在微积分中的极限定义）。这次是人类第一次成功处理无穷——其实是成功地绕过去了。所以前面说“要多小有多小”含义深刻，它来自伟大数学家柯西划时代的思想——尽管它非常地形象朴素。

这一次绕过去了，人类可以永远绕过去吗？

康托在研究三角级数时又遇到无穷了，性格倔强的他不打算绕过去了，他要直接面对无穷并开始研究它。康托对无穷集合的研究成果前面提到了（自然数、偶数、有理数都是无穷集合），他因此创立了集合论，集合论是现代数学的基础。

按说成果显著，应该得到大家的承认和欢呼。错了，康托得到的是一些德国数学家包括他的老师和好朋友剧烈反对和嘲讽，因为他打开了一扇不该打开的大门，研究了无穷这个不该研究的东西，甚至说他给数学带来了“疾病”，要把他的东西从数学中清理干净。

康托不堪巨大压力，患上了精神病，几次进出精神病院，最后死在精神病院。

好在世界数学界的领袖人物希尔伯特支持康托，他在第二届国际数学家大会上将康托提出的连续统问题列为未来世界数学问题首位，昭示后来数学学子。后人没有辜负希尔伯特的期望，在1965年将该问题完全解决。

最后指出，问题3涉及的稠密子集一般是无穷集合（T稠密可以不是），没有康托当初勇敢面对无穷，就不会有稠密子集的概念出现，而如果没有柯西朴素又深刻的思想，我们就不知道怎么描述“稠密”。

本文如有谬误之处，请读者及时指出。